Halaman
216Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSetelah mengikuti pembelajaran limit fungsi, siswa mampu:3.7 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional) secara intuitif dan sifat-sifatnya, menentukan eksistensinya.4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.3.9 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional) secara intuitif dan sifat-sifatnya, menentukan eksistensi dan menghitungnya.4.9 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.Melalui pembelajaran materi limit fungsi, siswa memperoleh pengalaman belajar:• Mampu berpikir kreatif.• Mampu berpikir kritis dalam mengamati permasalahan.• Mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep.• Mengajak kerjasama tim dalam menemukan solusi permasalahan.• Mengajak siswa untuk menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari.• Siswa mampu memodelkan permasalahan.Limit FungsiKompetensi Dasar Pengalaman Belajar• limit fungsi• pendekatan (kiri dan kanan)• bentuk tentu • bentuk tak tentuIstilah Penting A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman BelajarBAB6
217MATEMATIKA B. Diagram AlirFungsiMateriPrasyaratMasalahAutentikFungsi AljabarDomainRangeLimit Fungsi AljabarLimit Fungsi Pada Suatu TitikSifat Limit Fungsi Aljabar
218Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKDalam kehidupan sehari-hari, berbagai permasalahan yang kita hadapi dapat melahirkan berbagai konsep matematika. Dengan ditemukan konsep umum matematika maka kita mampu menyelesaikan kembali permasalahan yang serupa. Sebagai contoh, pengamatan yang dilakukan pada respon tubuh yang sedang alergi terhadap suatu zat dengan tingkat dosis obat antibiotik. Berdasarkan data yang diperoleh, memungkinkan ditemukan suatu model batas dosis pemakaian antibiotik tersebut. Dengan demikian, masalah alergi yang serupa dapat diatasi bila terjadi kembali. Percobaan yang kita lakukan adalah sebuah konsep pendekatan terhadap solusi permasalahan tersebut. Jadi, konsep dapat kita peroleh dengan mengamati, mencoba, menganalisis data, dan menarik kesimpulan. Perhatikan ilustrasi berikut.Seseorang memandang di kejauh an jalan raya yang lurus. Dia melihat kendaraan yang melintas bergerak semakin jauh dan ukuran kendaraan juga seakan-akan semakin kecil. Ini menandakan bahwa kita mempunyai jarak pandang yang terbatas. Bukan hanya jarak pandang yang mempunyai batas, melainkan banyak hal seperti, ambang batas pendengaran, batas kemampuan memikul beban, batas kemampuan masyarakat membeli barang tertentu, dan lain-lain. Jadi, kita akan memulai pelajaran ini dengan mengkaji istilah “batas” terlebih dahulu. Kasus-kasus apa saja dalam kehidupan sehari-hari yang mempunyai keterbatasan? Coba amati! Sebagai contoh, ambang batas pendengaran, batas kemampuan memikul beban, batas kemampuan masyarakat membeli barang tertentu, dan lain-lain. C. Materi PembelajaranGambar 6.1: Jalan rayaSumber: http://www.grahakartikapesona.com
219MATEMATIKAGambar 6.2: Sketsa badan jalanMari kita kaji lebih jauh Gambar 6.1 di atas. Misalkan kita lukis kembali badan jalan tersebut lebih sederhana pada Gambar 6.2.Secara visual pada gambar, badan jalan semakin sempit untuk jarak pandang semakin jauh. Perhatikan, jarak bahu jalan dari kiri dan kanan menyempit menuju tengah jalan. Ada batas ukuran lebar jalan menyempit dari kiri dan kanan ke tengah jalan sesuai dengan sudut pandang kita terhadap jalan tersebut. Berdasarkan ilustrasi tersebut, kita membicarakan kata ’batas’ atau ’limit’. 6.1 Konsep Limit Fungsi6.1.1 Menemukan Konsep Limit FungsiUntuk memperjelas kata ’batas’ atau ’limit’ pada ilustrasi di atas, kita akan mencoba mencari pengertian atau konsep limit tersebut dengan mengamati permasalahan berikut.Masalah 6.1Jika ada pertanyaan: Bilangan bulat manakah yang terdekat ke bilangan 3? Tentu saja dengan mudah kita menjawab yaitu bilangan 2 atau 4, bukan? Tetapi, jika pertanyaan diubah menjadi: Bilangan realmanakah yang terdekat ke bilangan 3? Tentu tak berhingga banyaknya bilangan real yang dekat ke bilangan 3, tetapi bilangan manakah yang terdekat ke 3?
220Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKGambar 6.3: Ilustrasi limit sebagai pendekatan nilaiPerbesaranPerbesaranAlternatif Penyelesaian:Mari kita kaji melalui garis bilangan berikut. Perhatikan gambar!Pada garis bilangan pertama, misalkan jawaban akan pertanyan tersebut adalah 2,75 atau 3,25, tetapi itu bukan jawaban yang paling tepat untuk pertanyaan tersebut. Pada garis bilangan kedua, diperoleh bilangan terdekat adalah 2,99 atau 3,01. Namun jawaban tersebut juga masih kurang tepat karena pada garis bilangan ketiga tampak bilangan 2,9999 atau 3,0001. Apakah bilangan 2,9999 atau 3,0001 adalah jawaban yang tepat terhadap pertanyaan di atas? Tentu tidak, karena masih banyak lagi bilangan yang lain yang dekat ke angka 3. Jadi, apakah pengertian dekat pada masalah ini?Pada garis bilangan, dapat dilihat sekelompok bilangan real mendekati 3 dari kiri dan sekelompok bilangan real lainnya mendekati 3 dari kanan. Namun hanya ada satu bilangan yang terdekat ke 3 dari kiri dan kanan. Jika dimisalkan x sebagai variabel yang dapat menggantikan bilangan-bilangan yang mendekati 3 tersebut maka x akan disebut mendekati 3 (dituliskan x→3). Jika x adalah semua bilangan yang mendekati 3 dari kiri maka dituliskan x→3-dan sebaliknya jika x adalah semua bilangan-bilangan yang mendekati 3 dari kanan maka dituliskan x→3+.
221MATEMATIKA Seorang atlet bola voli sedang melakukan gerakan smash terhadap bola yang telah di-over menuju ke arahnya. Atlet tersebut melompat dan bergerak menuju bola sehingga pada saat tertentu dia akan menyentuh bola pada ketinggian tertentu, bukan? Atlet tersebut hanya dapat menyentuh bola, jika ketinggian tangannya meraih bola sama dengan ketinggian bola. Jika kita amati kasus ini dengan pendekatan koordinat, dapatkah kamu sketsa detik-detik pergerakan bola dan atlet sampai tangan atlet menyentuh bola? Kita sketsa bersama-sama. Perhatikan gambar!Masalah 6.2yxcL0Gambar 6.4: Sketsa pergerakan bola dan atlet volititik temuAlternatif Penyelesaian:Dari gambar dapat dilihat, bahwa bola yang dipukul ke daerah lawan, disambut oleh salah satu atlet sehingga bola dan atlet bergerak saling mendekati dengan arah yang berlawanan sehingga keduanya bertemu atau bersentuhan (titik temu) pada saat tertentu (titik c). Gerakan bola semakin dekat dan sangat dekat ke titik temu, demikian juga atlet bergerak semakin dekat dan sangat dekat ke titik temu. Titik temu keduanya menunjukkan ketinggian bola (titik L) dan atlet adalah sama.Berdasarkan Masalah 6.2, mari kita kaji lebih jauh gerakan objek tersebut dengan memisalkan gerakan membentuk kurva atau sebuah fungsi. Dengan demikian, kita akan lebih memahami konsep limit secara intuitif.
222Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6.1.2 Pemahaman Intuitif Limit Fungsi1. Amati fungsi f(x)= x + 1 untuk x ∈ R. Kita tentukan nilai fungsi f(x) = x + 1 pada saat x mendekati 2 dengan memisalkan y = f(x).Tabel 6.1: Nilai fungsi f(x) = x + 1 pada saat x mendekati 2x11,51,71,91,991,999. . .2. . .2,0012,012,12,52,73y22,52,72,92,992,999. . .?. . .3,0013,013,13,53,74Perhatikan sketsa berikut:Jika kita amati tabel dan sketsa di atas maka ada beberapa hasil pengamatan, sebagai berikut.• Terdapat tak berhingga bilangan real yang mendekati 2.• Setiap titik di sumbu x (daerah asal) mempunyai pasangan di sumbu y (daerah hasil).• Setiap nilai pada fungsi mendekati 3 pada saat x mendekati 2.• Tampak bahwa pendekatan ada dari kiri dan kanan pada tabel dan sketsa.Secara matematika, nilai-nilai fungsi f(x) = x + 1 mendekati 3 pada saat x mendekati 2. Hal ini dapat dinyatakan 2l i m (1)3xx→+=.Gambar 6.5: Nilai f(x) = x + 1 pada saat x mendekati 2 dari kiri dan kanan
223MATEMATIKA2. Amati fungsi f(x) = 211xx--untuk x ∈ R, x ≠ 1.Misalkan y = 211xx--= (1) (1)1xxx+--= x + 1 untuk x ≠ 1. Nilai fungsi f(x)untuk mendekati 1 dapat dilihat pada tabel berikut.Tabel 6.2: Nilai pendekatan fungsi f(x)= 211xx--, x ≠ 1 pada saat xmendekati 1x00,50,70,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,72y11,51,71,91,991,999. . .?. . .2,0012,012,12,52,73Pada tabel dapat dilihat nilai f(x)akan mendekati 2 pada saat x men- dekati 1 dan nilai fungsi tidak tentu pada x = 1. Secara matematika dituliskan 121lim21xxx→-=-Perhatikan gambar!Gambar 6.6: Nilai fungsi f(x) = 211xx--, x ≠ 1 pada saat x = 1 didekati 1 dari kiri dan kanan
224Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK3. Amati fungsi f(x) = x2jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1123. Jika y = f(x)maka nilai f(x) untuk x mendekati 1 dapat dilihat pada tabel berikut.Tabel 6.3: Nilai fungsi f(x) = x2jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1123 mendekati 2, pada saat x mendekati 1x00,50,70,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,72y00,250,490,810,980,998. . .?. . .2,0012,012,12,52,73Berdasarkan tabel di atas, nilai fungsi f(x)akan mendekati 1 pada saat x mendekati 1 dari kiri sementara nilaif(x) mendekati 2 pada saat x mendekati 1 dari kanan.Perhatikan gambar!Gambar 6.7: Grafik fungsi f(x) = x2jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1123f(x) = x2f(x) = x + 1yx
225MATEMATIKADefinisi 6.1Dengan demikian fungsi f(x)= x2jika x ≤ 1x + 1 jika x > 1123tidak memiliki limit pada saat x mendekati 1.Perhatikan definisi limit fungsi berikut!Misalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L dan c anggota himpunan bilangan real. lim ( )xcfx→ = L jika dan hanya jika f(x)mendekati L untuk semua x mendekati c.Catatan:a. lim ( )xcfx→ = L dibaca limit fungsi f(x)untuk x mendekati c adalah L.b. Kita menyatakan bahwa f(x) mendekati L ketika x mendekati c yang terdefinisi pada selang/interval yang memuat c kecuali mungkin di c sendiri.c. Limit fungsi mempunyai sifat: lim ( )xcfx→ = L jika dan hanya jikalim ( )xcfx-→ = L = lim ( )xcfx+→.Coba kamu diskusikan kasus berikut! Perhatikan dan amati beberapa gambar berikut dengan langkah-langkah pengamatan sebagai berikut.1. Tentukan titik-titik x yang mendekati c dari kiri dan kanan!2. Tentukan nilai fungsi f(x)untuk x yang mendekati c dari kiri dan kanan!3. Kemudian amati nilai-nilai f(x)dari kiri dan kanan.1. Tentukan nilai 3lim ( )xfx-→-, 3lim ( )xfx+→-, 1lim ( )xfx-→, 1lim ( )xfx+→, 4lim ( )xfx-→, dan 4lim ( )xfx+→pada gambar berikut! Kemudian tentukan nilai f(–3), f(1),dan f(4) pada gambar berikut! Kemudian tentukan nilai f(–3), f(1), dan f(4)!Latihan 6.1
226Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2. Gambar manakah yang disebut mempunyai limit pada saat x mendekati c? Jelaskan jawabanmu!Gambar 6.8: Grafik fungsi f(x) terkait limit fungsif(x)xyGambar 6.9: Grafik fungsi f(x) terkait limit fungsi
227MATEMATIKAContoh 6.1Seekor lebah diamati sedang hing-gap di tanah pada sebuah lapang an. Pada keadaan dan interval waktu tertentu, misalkan lebah tersebut terbang mengikuti fungsi berikut:Coba kamu tunjukkan grafik lintasan terbang lebah tersebut dan analisis gerak lebah pada waktu t = 1 dan t = 2!Alternatif Penyelesaian:Perhatikan gambar dari ilustrasi masalah di atas.Misalkan y = –5t2 + 10tjika 0 ≤ t ≤ 1 5 jika 1 ≤ t ≤ 2–5t + 15 jika 2 ≤ t ≤ 314243f(t) = sehingga nilai limit fungsi pada saat mendekati t = 1 dan t =2 dilihat pada tabel berikut.Gambar 6.10: LebahSumber http://hafizamri.com–5t2 + 10tjika 0 ≤ t ≤ 1 5 jika 1 ≤ t ≤ 2–5t + 15 jika 2 ≤ t ≤ 314243f(t) =Gambar 6.11: Ilustrasi gerakan lebah
228Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 6.4: Nilai y = f(t) pada saat t mendekati 1.t0,70,80,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,21,3f (t)4,554,804,954,99955. . .5. . .55555Tabel 6.5: Nilai y = f(t) pada saat t mendekati 2.t1,71,81,91,991,999. . .2. . .2,0012,012,12,22,3f (t)55555. . .5. . .4,9954,954,543,5Dari pengamatan pada tabel, dapat dilihat bahwa y mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y mendekati 5 pada saat t mendekati 2. Dengan perhitungan limit fungsi diperoleh:I. Untuk t mendekati 11limt-→(–5t2 + 10t) = 5 (makna t→ 1– adalah nilai t yang mendekati 1 dari kiri)1limt+→5 = 5 (makna t→ 1+ adalah nilai t yang mendekati 1 dari kanan)Diperoleh, 1limt-→(–5t2 + 10t) = 5 = 1limt+→5. Dengan demikian, fungsi lintasan lebah mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 1.II. Untuk t mendekati 22limt-→= 5 (makna t→ 2– adalah nilai t yang mendekati 2 dari kiri)2limt+→(–5t+ 15) = 5 (makna t→ 2+ adalah nilai t yang mendekati 2 dari kanan)Diperoleh, 2limt-→5 = 5 =2limt+→(–5t+ 15). Dengan demikian, fungsi lintasan lebah mempunyai limit sebesar 5 pada saat t mendekati 2.6.2 Sifat-Sifat Limit FungsiBerdasarkan uraian ilustrasi, masalah, dan contoh di atas, secara induktif di-peroleh sifat berikut.
229MATEMATIKAMisalkan f sebuah fungsi f : R → R dan misalkan L,c bilangan real. lim ( )xcfx→ = L jika dan hanya jika lim ( )xcfx-→ = L = lim ( )xcfx-→Kita akan merumuskan sifat-sifat limit fungsi aljabar.Jika f(x) = k dengan k bilangan real maka tentukan nilai f(x) pada saat x mendekati 1. Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x)sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.Tabel 6.6: Nilai f(x) = k pada saat x mendekati 1x00,20,50,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,82ykkkkkk. . .?. . .kkkKkkJika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati k. Secara matematika, ditulis 1limx-→k = k = 1limx+→k atau 1limx→k = k (berdasarkan Sifat 6.1).Misalkan f(x) = k adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada xmendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real, maka limxc→k = kJika f(x) = x maka tentukan nilai f(x) pada saat x mendekati 1. Contoh 6.2Sifat 6.1Contoh 6.3Sifat 6.2
230Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 6.3Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x) = x sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.Tabel 6.7: Nilai pendekatan f(x) = x,pada saat x mendekati 1x00,20,50,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,82y00,20,50,90,990,999. . .?. . .1,0011,011,11,51,82Jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati 2. Secara matematika, ditulis 1limx-→x = 1 = 1limx+→x atau 1limx→x = 1 (berdasarkan Sifat 6.1).Misalkan f(x) = x, adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka limxc→x = cJika f(x)= kx dengan k adalah konstan maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1. Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x) = kx sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.Tabel 6.8: Nilai pendekatan f(x) = kx,pada saat x mendekati 1x00,50,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,521,82y00,5k0,9k0,99k0,999k. . .?. . .1,001k1,01k1,1k1,5k2k1,82Kita dapat amati 1limx-→kx = k = 1limx+→kx atau 1limx→kx = kJika diuraikan maka:1limx→kx = (k)1limx→(x) = k.1 = k (dimana 1limx→x = 1).Contoh 6.4
231MATEMATIKASifat 6.4Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka maka limxc→[kf(x)] = k[limxc→f(x)] Jika f(x) = kx2dengan k adalah konstan maka nilai pendekatan f(x) pada saat xmendekati 1. Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x) = kx2sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.Tabel 6.9: Nilai pendekatan f(x) = kx2 dengan k adalah konstan pada saat x mendekati 1x00,20,50,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,82y00,01k0,25k0,81k0,9801k0,998001k. . .?. . .1,002001k1,0201k1,21k2,25k3,24k4kKita dapat amati 1limx-→kx2= k = 1limx+→kx2atau 1limx→kx2 = k. Bila diuraikan prosesnya maka,1limx→(2x2) =1limx→ (2) (x) (x) =1limx→(2)1limx→(x)1limx→(x) = 2.1.1 = 2atau1limx→(2x2) =1limx→ (2) (x2) =1limx→(2)1limx→(x2)= 2.12 = 2atau1limx→(2x2) =1limx→ (2x) (x) =1limx→(2x)1limx→(x)= 2.1 = 2.Contoh 6.5
232Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKSifat 6.5Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, limxc→[f(x)g(x)] = [limxc→f(x)] [limxc→g(x)]1. Jika f(x) = x2 – 4x maka tentukan nilai pendekatan f(x)pada saat xmendekati 1.Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x) = x2 – 4x sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut. Tabel 6.10: Nilai f(x) = x2 – 4x pada saat x mendekati 1x00,50,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,52y0–1,75–2,79–2,98–2,998. . .?. . .–3,002–3,02–3,19–3,75–4Kita dapat amati 1limx-→[x2 – 4x] = –3 = 1limx+→[x2 – 4x] atau 1limx→[x2 – 4x] = –3. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan 1limx→x2 = 1 dan 1limx→4x= 4 maka,1limx→[x2 – 4x] = 1limx→[(x2) – (4x)] = 1limx→(x2) – 1limx→(4x) = (1) – (4)= –3.2. Jika f(x) =x2 + 4x maka tentukan nilai f(x) pada saat x mendekati 1.Alternatif Penyelesaian:Tabel 6.11: Nilai f(x) =x2 + 4x pada saat x mendekati 1x00,50,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,52y02,254,414,944,99. . .?. . .5,015,065,618,2512Contoh 6.6
233MATEMATIKAKita dapat amati 1limx-→[x2 + 4x] = 5 = 1limx+→[x2 + 4x] atau 1limx→[x2 + 4x] = 5. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan 1limx→x2 = 1 dan 1limx→4x= 4 maka,1limx→[x2 + 4x] = 1limx→[(x2) + (4x)] = 1limx→(x2) + 1limx→(4x) = (1) + (4)= 5.Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c,limxc→[f(x) ± g(x)] = [limxc→f(x)] ± [limxc→g(x)]Jika f(x) = 2242xxxx++maka tentukan nilai f(x) pada saat x mendekati 1.Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x)=2242xxxx++sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.Tabel 6.12: Nilai f(x) = f(x) =2242xxxx++pada saat x mendekati 1x0,10,70,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,7y3,421,961,751,671,67. . .?. . .1,671,661,591,381,30Sifat 6.6Contoh 6.7
234Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKKita dapat amati 1limx-→2242xxxx++ = 1,67 = 1limx+→2242xxxx++ atau 1limx→2242xxxx++= 1,67. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan 1limx→[x2+ 4x] = 5 dan 1limx→[2x2+ x] = 3 maka,1limx-→2242xxxx++= 1122lim(4 )lim(2)xxxxxx→→++ = 53 atau 1,67.Misalkan f, g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real, maka limxc→()()fxgx= lim ( )lim ( )xcxcfxgx→→ =limxc→g(x) ≠ 0Jika f(x) = 8x3maka tentukan nilai f(x) pada saat x mendekati 1.Alternatif Penyelesaian:Misalkan y = f(x) =8x3sehingga nilai fungsi disajikan pada tabel berikut.Tabel 6.13: Nilai f(x) = 8x3 pada saat x mendekati 1x0,10,70,90,990,999. . .1. . .1,0011,011,11,51,7y0,082,745,837,767,98. . .?. . .8,028,2410,652739,30Kita dapat amati 1limx-→8x3 = 8 = 1limx+→8x3 atau 1limx→8x3 = 8. Bila diuraikan proses dengan kaitannya dengan 1limx→2x = 2 maka, Contoh 6.8Sifat 6.7
235MATEMATIKA1limx→8x3= 1limx→(2x)3= 1limx→(2x)(2x)(2x)= (1limx→2x)(1limx→2x)(1limx→2x)= (1limx→2x)3= (2)3= 8.Misalkan f adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan c adalah bilangan real dan n adalah bilangan positif.limxc→[f(x)]n = [limxc→f(x)]nTunjukkan dengan pendekatan nilai 2limx→x = ( )332limxx→!Latihan 6.2Uji Kompetensi 6.11. Tunjukkan dengan pendekatan nilai pada limit fungsi berikut:a. 22232lim 6(lim 2 )(lim3 )xxxx xx→→→=b. 2222222(lim )(lim 4)4lim2(lim 2) (lim )xxxxxxxxx→→→→→=+++c. lim()(limlim)xxxxx→→→+=+222222525.Sifat 6.8
236Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK2. Tunjukkan dengan gambar dan pendekatan nilai fungsi pada saat pendekatan ke 2 dari kiri dan kanan:a. 2limx→x = 2 d. 2limx→6x2 = 24b. 2limx→6x = 12 e. 2limx→6x = 3.c. 2limx→(6 + x) = 83. Tunjukkan pada gambar berikut, fungsi y = f(x) mempunyai nilai limit atau tidak pada saat x mendekati c! Berikan alasan!a. d. b. e.c. f.
237MATEMATIKADefinisi 2.24. Jika L, K adalah bilangan real dan limxc→f(x) = L, limxc→g(x) = K maka tentukan: a. 2() 2lim() 2xfxfx→+-b. 22222()lim()xfx Lfx L→-+c. 22()()lim()()xf x gxf x gx→-+ .5. Tunjukkan dengan gambar, nilai pendekatan dari fungsi-fungsi berikut:a. 2limx→(x + 2)b. 224lim2xxx→--c. 02limxxx→d. Jika f(x) = x + 2 jika x ≤ 14– xjika x ≥ 1123 maka tunjukkan 1limx→f(x)e. Jika f(x) = x + 1 jika x < 1x2+ 1 jika x ≥ 1123 maka tunjukkan 1limx→f(x). 6. Tuliskan dan tunjukkan sifat-sifat limit yang mana saja dapat digunakan untuk menyelesaikan limit fungsi berikut?a. 1limx→(3x2 – 4)b. 1limx→44xx-+c. 1limx→(2x– 1)4.
238Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6.3 Menentukan Nilai Limit FungsiPada bagian ini, kita akan menentukan nilai limit suatu fungsi aljabar dengan menggunakan metode ataupun strategi. Perlu kamu ingat, fungsi dapat terdefinisi pada x = c, dan dapat juga tidak terdefinisi pada saat x = c. Untuk itu, nilai f(c) akan mempunyai bentuk tak tentu, seperti 00, ∞∞, ∞ – ∞, ∞∞dan lain-lain. Bentuk-bentuk ini bukan nilai limit fungsi yang dimaksud. Oleh karena itu, misi kita adalah mencari bentuk tentu dari limit fungsi tersebut. Perhatikan langkah-langkah berikut:1. Substitusikan x = c ke fungsi f(x) sehingga diperoleh f(c) = L. (L = nilai tentu).2. Jika L merupakan salah satu bentuk tak tentu maka kita harus mencari bentuk tentu limit fungsi tersebut dengan memilih strategi: mencari beberapa titik pendekatan, dan memfaktorkan. Berikut adalah contoh fungsi yang terdefinisi atau tidak terdefinisi pada suatu pendekatan tertentu.1. Fungsi f(x) = x3 + 1 mempunyai bentuk tentu pada x = 1 karena f(1) = 2. Dengan demikian, nilai limit fungsi pada x = 1 adalah 2.2. Fungsi f(x) = 4211xx-- mempunyai bentuk tak tentu pada x = 1 dan x = –1 karena f(c) = 00 atau f(–1) = 00. Dengan demikian, dibutuhkan strategi untuk mencari nilai limit fungsi pada x = 1 dan x = –1. Perhatikan beberapa contoh soal dan penyelesaian berikut.Tentukan nilai 22232lim4xxxx→-+-Alternatif Penyelesaian:Cara I (Numerik)Jika y = f(x) =22232lim4xxxx→-+- maka pendekatan fungsi pada saat x mendekati 2 ditunjukkan pada tabel berikut:Contoh 6.9
239MATEMATIKATabel 6.14: Nilai pendekatan y = 22232lim4xxxx→-+-pada saat x mendekati 2x1,51,71,91,991,99922,0012,012,12,32,5y0,1430,1890,2310,2480,2500/00,2500,2520,2680,3020,333Pada tabel, fungsi y = f(x)akan mendekati 0,25 untuk x mendekati 2. Cara II (Faktorisasi)Perhatikan bahwa f(2) = 00 adalah bentuk tak tentu sehingga diperlukan strategi pergantian dengan faktorisasi sebagai berikut:22232lim4xxxx→-+- = 2(2 ) (1)lim(2)(2)xxxxx→---+ = 21lim2xxx→-+ karena x ≠ 2 = 14atau 0,25.Tentukan nilai 1421lim1xxx→-- dan 1421lim1xxx→---.Nilai fungsi tersebut adalah bentuk tak tentu pada absis 1 dan –1 sehingga perlu strategi pergantian dengan faktorisasi!Alternatif Penyelesaian:Cara I (Numerik)Jika y = 1421lim1xxx→---maka pendekatan fungsi pada saat x mendekati 1 dan –1 ditunjukkan pada tabel berikut:Tabel 6.15: Nilai pendekatan f(x) = 1421lim1xxx→---pada saat x mendekati 1x0,70,80,90,990,99911,0011,011,11,21,3y1,491,641,811,982,00?2,002,022,212,442,69Contoh 6.10
240Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTabel 6.16: Nilai pendekatan f(x) = 1421lim1xxx→---pada saat x mendekati –1x–1,3–1,2–1,1–1,01–1,001–1–0,999–0,99–0,9–0,8–0,7y2,692,442,212,022,00?2,001,981,811,641,49Dengan melihat tabel-tabel di atas, jika x mendekati 1 maka f(x) akan mendekati 2 dan jika x mendekati –1 maka f(x) akan mendekati 2. Cara II (Faktorisasi)1421lim1xxx→-- = 12(1) (1) (1)lim(1) (1)xx xxxx→++-+- = 12l i m (1)xx→+ karena x ≠ 1 dan x ≠ –1 = 12l i m (1)xx→+(–1)2 + 1 = 2dan1421lim1xxx→--- = 12(1) (1) (1)lim(1) (1)xx xxxx→-++-+- = 12l i m (1)xx→-+ karena x ≠ 1 dan x ≠ –1 = 12l i m (1)xx→-+(–1)2 + 1 = 2.Tentukan nilai 1333(31)(1)lim1xxxx→- -+- dengan menunjukkan pendekatan nilai dan proses pergantian fungsi dengan faktorisasi. Latihan 6.3
241MATEMATIKACara I (Numerik)Petunjuk1. Lengkapilah tabel di bawah ini.2. Amati pergerakan nilai dari kiri dan kanan pada saat mendekati 1 di sumbu x.3. Amati pergerakan nilai dari kiri dan kanan pada saat mendekati f(1) di sumbu y.4. Tentukan nilai limit fungsi.Misalkan y = 1333(31)(1)lim1xxxx→- -+- maka pendekatan fungsi pada saat x men-dekati 1 ditunjukkan pada tabel berikut:Tabel 6.17 Nilai pendekatan f(x) = 1333(31)(1)lim1xxxx→- -+- pada saat x mendekati 1x0,50,90,950,990,999. . .1. . .1,0011,011,051,11,5y. . .. . .. . .. . .. . .. . .0/0. . .. . .. . .. . .. . .. . .Cara II (Faktorisasi)1333(31)(1)lim1xxxx→- -+-Langkah 1. Jabarkan fungsi-fungsi di pembilang dan faktorkan fungsi di penyebut= 13232(............) (............)lim(1)(. . .)xxxxxxxx→- +-- + ++-= 132............lim(1)(. . .)xxx xx→- +--Langkah 2. Faktorkan fungsi di pembilang= 1(1)(. . .)lim(1)(. . .)xxx→--= 1...lim...x→karena x ≠ 1= ....
242Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKTentukan nilai 15315lim1xxxx→--.Alternatif penyelesaian:Dengan memisalkan x = y15 maka x→ 1 menjadi y→ 1 sehingga: 15315lim1xxxx→-- = 15315151515lim1yyyy→--= 135lim1yyyy→--= 13(1) (1)lim1yyyyy→+--= 13l i m(1)yyy→+karena y ≠ 1 = 1(2) atau 2.Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0,25t2 + 0,5t (cm2). Tentukan kecepatan perubahan pertambahan luas bidang tersebut pada saatt = 5 menit.Alternatif penyelesaian 1:Kecepatan perubahan pertambahan luas adalah besar pertambahan luas dibandingkan dengan besar selisih waktu. Perhatikan tabel!Tabel 6.18: Nilai pendekatan f(t) = 0,25t2 + 0,5t (cm2) pada saat t mendekati 5t∆t = t–5∆f = f(t)-f(5)∆f /∆t1-4-822-3-6,752,253-2-52,54-1-2,752,75Contoh 6.12Contoh 6.11
243MATEMATIKAt∆t = t–5∆f = f(t)-f(5)∆f /∆t4,5-0,5-1,43752,8754,9-0,1-0,29752,9754,99-0,01-0,0299752,99754,999-0,001-0,002999752,999754,9999-0,0001-0,0002999972,99997550,00000?5,00010,00010,0003000023,0000255,0010,0010,003000253,000255,010,010,0300253,00255,10,10,30253,0255,50,51,56253,125613,253,25Dengan melihat tabel di atas, pada saat t mendekati 5 maka ∆t mendekati 0 dan f(t) akan mendekati 3 (cm2/menit).Alternatif Penyelesaian 2: (Dikerjakan sebagai Latihan)f(t) = 0,25t2 + 0,5t5( )(5)lim5tft ft→--= 52(0, 250,5 )(. . .)lim5tttt→+--= 5...lim5tt→- = 50,5(. . .)lim5tt→-= 50, 5(. . .)(5)lim5ttt→--karena t ≠ 1= 5lim 0,5(. . .)t→ = . . .Alternatif Penyelesaian 3: (Dikerjakan sebagai Latihan)Petunjuk: Jika t diganti menjadi T + 5.
244Kelas XI SMA/MA/SMK/MAKUji Kompetensi 6.21. Selidiki fungsi tersebut mempunyai limit atau tidak, berikan alasan!a. 121lim2xxx→+-b. 1421lim1xxx→--c. 11lim1xxx→--d. 0limxxx→e. 0limxxxxx→--.2. Dengan menggunakan strategi, tentukan nilai limit fungsi berikut:a. 1223lim23xxxx→+--b. 12223lim3xxxx→----c. 23222lim4xxxx→--d. 24224lim6xxxxx→-+-e. 132224lim2xxxxx→-+-.
245MATEMATIKA3. Sketsa dan analisis limit fungsi di x = –1 dan x = 1a. 3 jika x ≥ 12 jika 1 ≤ x ≤ 11 jika x ≤ –114243f(x) =b. 4 jika x ≥ 12x + 2 jika –1 < x < 1 0 jika x ≤ –114243f(x) =c. x + 1 jika x ≥ 13 – xjika –1 < x < 1–4xjika x ≤ –114243f(x) =d. x + 2 jika x ≥ 1 3xjika –1 ≤ x < 1 x2 jika x ≤ –114243f(x) =e. x2 jika x ≥ 1 2 jika –1 ≤ x < 12 – xjika x ≤ –114243f(x) =.4. Sebuah garis y – 2x – 3 = 0 menyinggung kurva y = x2 + x + 2. a. Coba kamu tunjukkan koordinat pendekatan kedua kurva (titik singgung). Gunakan strategi numerik untuk mendapatkannya!b. Carilah metode lain untuk mendapatkan titik singgung tersebut!c. Sketsalah permasalahan tersebut!5. Tentukan nilai limit fungsi berikut!a. 1211limxxx→-- dengan memisalkan x = t2.b. 1123limxxx→+-- dengan memisalkan x = t2 – 1.c. 3461limxxxxx→-- dengan memisalkan x = t12.
246Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK6. Tentukan nilai limit fungsi berikut dengan menggunakan dua atau lebih metode penyelesaian! Bandingkan jawaban yang Anda peroleh!a. Jika f(x) = 3x2 maka tentukan 0(2)()limhfx h fxh→+-b. Jika f(x) = 3x2 maka tentukan 0(2)(2)limhfx h fx hh→+- -c. Jika f(x) = 3x2 maka tentukan 0(4)(2)lim3hfx h fx hh→+- +.7. Jika fungsi f(x) memenuhi 2013() 22fxfx-- = x maka tentukan nilai201320133 ()lim2013xfxx→-.Setelah kita membahas materi limit ini, terdapat beberapa hal penting yang menjadi kesimpulan dari hasil penemuan berbagai konsep dan aturan tentang limit, disajikan sebagai berikut.1. Penentuan limit suatu fungsi di suatu titik c, sangat bergantung pada kedudukan titik c dan domain fungsi tersebut. Dalam pembahasan limit fungsi pada buku ini, yang menjadi domain fungsi adalah himpunan bilangan real dimana fungsi tersebut terdefinisi.2. Sebuah fungsi f dikatakan mempunyai limit di titik c jika dan hanya jika nilai fungsi untuk x dari kiri dan kanan menuju ke bilangan yang sama.3. Suatu fungsi f mempunyai nilai limit di titik c, apabila nilai limit kiri sama dengan nilai limit kanan dari fungsi tersebut pada titik c.4. Tidak semua fungsi mempunyai limit di titik c. Titik c tidak harus anggota domain fungsi, tetapi c anggota himpunan bilangan real.5. Misalkan f sebuah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bilangan real dan c dan L adalah bilangan real, fungsi f mendekati L pada saat x mendekati c dapat kita tuliskan dengan lim ( )xcfx→= L. D. Penutup
247MATEMATIKA6. Misalkan f(x), g(x) adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.a. lim ( )xcfx→k = kb. lim ( )xcfx→x = cc. lim( )lim ( )xcxckfx kfx→→=d. lim ()()lim ()lim ()xcxcxcf x gxf xgx→→→±= ±e. lim () ()lim () lim ()xcxcxcf xgxf xgx→→→=f. lim ( )()limdengan lim ( )0lim ( )()xcxcxcxcfxfxgxgxgx→→→→=≠g. lim( )lim( )xcxcnnfxfx→→ =h. lim( )lim ( )xcxcnnfxfx→→=.Selanjutnya, kita akan membahas tentang materi turunan. Materi prasyarat yang harus kamu kuasai adalah himpunan, fungsi, operasi hitung bilangan dan pengukuran serta limit fungsi. Hal ini sangat berguna dalam penentuan turunan suatu fungsi, nilai stasioner, nilai optimal sebuah fungsi, titik belok, dan sebagainya. Pada jenjang yang lebih tinggi, kamu harus menguasai fungsi yang kontinu dan diskontinu. Semua apa yang kamu sudah pelajari sangat berguna untuk melanjutkan bahasan berikutnya dan seluruh konsep dan aturan-aturan matematika dibangun dari situasi nyata dan diterapkan dalam pemecahan masalah kehidupan.